Нет, не нужно. Они животные домашние, любят привычное место и покой, спокойно обходятся без прогулок. Впрочем, если вам хочется, то можно выгуливать. Но на ошейнике нельзя, только на шлейке, и при этом шлейка должна быть хорошо подогнана и туго застёгнута, а между передних лап обязательно должна быть перемычка - кошки очень легко выскальзывают из неграмотно подобранных шлеек. Приучать к шлейке и поводку надо заранее, дома, чтобы кот не начал бесноваться, когда первый раз окажется на улице, да ещё и на привязи. Кошки, которых с детства приучали к прогулкам на улице, гуляют не хуже собак, и никакого стресса не испытывают - только любопытство. А вот если кот уже взрослый или старый, лучше и не начинать.
Заразу подцепить кошке можно не только на улице, но и дома, вирусы прекрасно приносятся на вашей одежде и обуви. Поэтому кошку, даже если она не выходит на улицу, обязательно нужно вакцинировать.
-------------------------------------------
Говорят, собака — лучший друг человека. Я в это не верю. Скольких своих друзей вы кастрировали?