В каком смысле-на себе. Может быть вирусоносительство, как и у любого живого существа, но это если она УЖЕ заражена, то есть когда вирус попал непосредственно в сам организм, тогда он выделяется в окружающую среду через слюну, дыхание..
Если имеете ввиду переносить на шерсти-скажем, после тесного контакта с кем-то заболевшим, то логически и такое может быть, но точно таким же образом вирус может передаваться и через вашу собственную одежду, предметы.
И еще смотря о какой болезни вы ведете речь и о чьем именно заражении. Человека, другого животного, или другой собаки. далеко не все болезни являются общими.
-------------------------------------------
Собака упомянута в Библии восемнадцать раз, а кошка ни разу.